用Excel解决经典“鸡兔问题”的五种方法

“鸡兔问题”是一道古典数学问题，源自我国古代四、五世纪的数学著作《孙子算经》。算经卷下第三十一题为：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何?”原著的解法为：“上署头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。”具体解法即：分别列出总头数(35)和总足数 (94)，总足数除以二，再减去总头数(94÷2-35)，得到兔数为12，总头数减去兔数35-12得到鸡数为23。

　　鸡兔问题本身并不难，使用2元1次方程组的消元算法，可以很快得到答案。我们可以尝试着利用Excel提供的各种计算工具来进行计算，不仅别有趣味，而且还会加深对Excel功能的综合掌握，对于讲授Excel的教师而言，则是典型的一题多解的素材。

　　一、 利用IF函数试探求解

　　如图1，创建一个二维表，假设鸡数B2为要求解的单元格，将鸡兔的总头数和脚数分别写入D2和D3单元格，利用已知条件在其他单元格中写入公式：因兔头数=总头数-鸡头数，故在C2单元格中写入=D2-B2;鸡脚数=鸡头数*2，故B3单元格写入=B2*2;兔脚数=兔头数*4，故C3单元格写入=C2*4。

　　接下来我们在任意其他单元格输入一个判断公式(本例中使用F1单元格)，公式内容为=IF(D3=B3+C3,"正解!",IF(D3> B3+C3,"高了","低了"))。公式的本质是判断鸡脚数+兔脚数与总脚数之间的关系，如果判断表达式D3=B3+C3结果为True，就意味着我们已经得到了正确答案。

　　最后在B2中输入35以内的任意整数进行试探求解。如果输入的数值高于正解，判断单元格F1会提示“高了”，若数值小于正解则提示“低了”，用户根据提示再继续输入其他一个数字，直到输入了正确答案23，F1单元格会显示“正解!”。

　　这种方法比较直观，但是非常笨拙，需要人工干预。即使用户聪明地使用二分法试探，也需要多次输入才能解决问题，对于更庞大的问题，这种解法几乎是不可行的。

图1 利用IF函数试验求解

二、使用模拟运算表，让Excel自动给出答案

　　第一种方法存在的问题就是非常繁琐，需要用户干预。为了避免用户干预，可以考虑将鸡兔问题转化为双变量模拟运算表，将鸡数和兔数设置为两个变量。具体做法是：

　　1. 先在A1:D2单元格中输入参考数据如下(图 2)：

图2 参考数据

　　2. 创建一个二维模拟运算表的框架，因为鸡的数目不会超过脚数/2，即鸡最多为47只，同理兔子数目不会超过94/4，即兔最多为24只。我们用第4行表示兔的数目，用第C列表示鸡的数目。在D4:AA4中填充1,2,3…24等数值，在C5:C47中填充1,2,3…47，参见图 4;

　　3. 在模拟运算表的左上方C4单元格中输入模拟运算表的公式：=IF(2*A2+4*B2=$C$2,IF(A2+B2=$D$2,"正解","X"),"X")，公式中的$C$2和$D$2单元格为已知的总脚数和总头数，A2和B2将作为模拟运算表的两个变量;

　　4. 选中模拟运算表区域，即C4:AA47区域，然后选择“数据”菜单中的“模拟运算表”菜单项，打开模拟运算表对话框(如图 3)。在对话框中，输入引用行的单元格为$A$2(即鸡数)，输入引用列的单元格为$B$2(即兔数)，单击“确定”按钮;

图 3 输入引用行和引用列的单元格

　　5. 在模拟运算表中会显示出计算结果，在所有的运算表区域中，只有Z16单元格中显示了“正确”两字，其余单元格均为“X”，表示Z16单元格为问题的正解，查表可知，Z16单元格的兔数为12，鸡数为23(如图 4)。

图 4 模拟运算表运算结果

　　这种使用模拟运算表的方法比较“另类”。利用这种思路，不仅可以求解多元一次方程组，还可以求解多解问题。

三、使用规划求解，将苦活抛给Excel

　　利用Excel的规划求解功能，我们可以利用计算机高速计算的特性求解鸡兔问题。如果用户的“工具”菜单中没有“规划求解”菜单项，可以选择 “工具”à“加载宏”，在“加载宏”对话框中选中“规划求解”并按下“确定”(如图 5)，此后在“工具”菜单就可以看到“规划求解”功能了。

图 5 规划求解加载宏

　　新建一个工作表，单元格B1为总脚数，输入公式=2*B3+4*B4;B2为总头数，输入公式=2*B3+4*B4，B3和B4单元格用于显示计算鸡数和兔数的结果，暂时留空。为求直观友好，可分别在A1、A2、A3、A4单元格中输入文字提示：“总脚数”、“总头数”、“鸡数”和“兔数”。如图 6所示。

图 6 规划求解表

　　然后选择“工具”菜单下的“规划求解”，在“规划求解参数”对话框中，设置目标单元格$B$1等于固定值94(即总脚数等于94)，将可变单元格设置为$B$3:$B$4，即欲求解的鸡数B3和兔数B4。在“约束”栏中，添加三个约束条件：$B$2=35(即总头数等于35)，$B$3和$B $4为整数，如图 7所示。

图 7规划求解对话框

　　规划求解参数设置完毕后，按下“求解”按钮，Excel很快地给出了正确答案：鸡数B3单元格为35，兔数B4单元格为 11.99999975。求解结果中兔数为小数形式，是规划求解过程中的计算误差。因为本问题是二元一次方程组求解，属于线性问题，用户可以在规划求解参数对话框中按下“选项”按钮，选中“采用线性模型”即可在计算结果中正确显示整数。

　　使用规划求解，可以利用计算机高速计算的特点对复杂问题建模求解，同样的思路也适合于解决多解的方程问题。

四、 利用矩阵函数，线性代数思路解决问题

　　鸡兔问题是二元一次方程组，可以利用线性代数方法进行求解。根据题意列出二元一次方程组为：

　　其中x为鸡数，y为兔数。根据方程组由线性代数方法可以列出如下两组矩阵A和矩阵B：

　　设所求矩阵为x，则方程组转化为AX=B，即。

　　根据如上的数学分析，我们可以利用Excel中矩阵函数的独特功能，使用矩阵逆函数MINVERSE对矩阵A求逆，然后利用矩阵乘函数MMULT对矩阵A的逆矩阵和B矩阵进行乘法运算，得到的结果矩阵就是方程组的解。

　　具体做法如下(参见图 8)：

　　1. 在A1:B2区域中输入矩阵A的数值，在D1:D2区域中输入矩阵B的数值;

　　2. 求取A的逆矩阵。选中B4:C5单元格，输入数组公式=MINVERSE(A1:B2)，确认时必须按下Ctrl+Shift+Enter组合键;

　　3. 求取A的逆矩阵和B矩阵的乘积。选中B7:B8单元格，输入数组公式=MMULT(B4:C5,D1:D2)，确认时必须按下Ctrl+Shift+Enter组合键;

　　4. B7、B8单元格的计算结果为23和12，即鸡数为23，兔数为12。

图 8 矩阵函数求解

　　使用矩阵函数的方法，在本质上是解决数学中的n元一次方程组的问题，具有比较广泛的通用性。

五、 使用VBA编程求解

　　鸡兔问题也可以编程解决。打开菜单“工具”à“宏”à“Visual Basic编辑器”，选择VBA编辑器的“插入”à“模块”菜单，并输入如下代码：

　　Sub chickrabbit()

　　For chick = 1 To 35

　　For rabbit = 1 To 35

　　If (chick + rabbit = 35) And (2 * chick + 4 * rabbit = 94) Then

　　MsgBox "鸡的数量为" & chick & "，兔为" & rabbit

　　End If

　　Next rabbit

　　Next chick

　　End Sub

　　编辑完毕后关闭VBA窗口，然后选择“工具”à“宏”，然后执行chickrabbit宏，就会弹出正确答案，如图 9所示。该程序可以做进一步的改进，例如可以改进执行方式、直接调用工作表数据、将输出结果显示在Excel单元格中等等，篇幅所限，不再赘述。

图9

　　本文分别使用了IF函数试探、双变量模拟运算表、规划求解、矩阵函数和VBA编程等方法对古典鸡兔问题进行求解，目的并不是求解简单数学问题的答案，而是旨在通过多种方法求解，展示Excel的多功能性和解决方式的灵活性，进一步开拓分析问题、解决问题的思路。