迭代算法解题的一般思路

文章类别：C语言程序设计 | 发表日期:2008-9-24 14:46:24

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的要害，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

例 1 ： 一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。假如所有的兔子都不死去，问到第 12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？

分析： 这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为 u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为 u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为 u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有

u 1 ＝ 1 ， u 2 ＝ u 1 ＋ u 1 × 1 ＝ 2 ， u 3 ＝ u 2 ＋ u 2 × 1 ＝ 4 ，……

根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：

u n ＝ u n － 1 × 2 (n ≥ 2)

对应 u n 和 u n － 1 ，定义两个迭代变量 y 和 x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：

y=x*2

x=y

让计算机对这个迭代关系重复执行 11 次，就可以算出第 12 个月时的兔子数。参考程序如下：

cls

x=1

for i=2 to 12

y=x*2

x=y

next i

print y

end

例 2 ： 阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内布满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 2 20 个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序算出。

分析： 根据题意，阿米巴每 3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到 45 分钟后布满容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以装阿米巴 2 20 个”，即阿米巴分裂 15 次以后得到的个数是 2 20 。题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第 15 次分裂之后的 2 20 个，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第 13 次分裂之后、第 12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。

设第 1 次分裂之前的个数为 x 0 、第 1 次分裂之后的个数为 x 1 、第 2 次分裂之后的个数为 x 2 、……第 15 次分裂之后的个数为 x 15 ，则有

x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)

因为第 15 次分裂之后的个数 x 15 是已知的，假如定义迭代变量为 x ，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式：

x=x/2 （ x 的初值为第 15 次分裂之后的个数 2 20 ）

让这个迭代公式重复执行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。参考程序如下：

cls

x=2^20

for i=1 to 15

x=x/2

next i

print x

end

例 3 ： 验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个希奇现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ；若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。

分析： 定义迭代变量为 n ，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时， n=n/2 ；当 n 为奇数时， n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是：

if n 为偶数 then

n=n/2

else

n=n*3+1

end if

这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为： n=1 。参考程序如下：

cls

input "Please input n=";n

do until n=1

if n mod 2=0 then

rem 假如 n 为偶数，则调用迭代公式 n=n/2

n=n/2

print "—";n;

else

n=n*3+1

print "—";n;

end if

loop

end

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