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分而治之算法---距离最近的点对

文章类别:C语言程序设计 | 发表日期:2008-9-24 14:46:26

给定n 个点(xi,yi)(1≤i≤n),要求找出其中距离最近的两个点。

例14-7 假设在一片金属上钻n 个大小一样的洞,假如洞太近,金属可能会断。若知道任意两个洞的最小距离,可估计金属断裂的概率。这种最小距离问题实际上也就是距离最近的点对问题。

通过检查所有的n(n- 1 ) / 2对点,并计算每一对点的距离,可以找出距离最近的一对点。这种方法所需要的时间为(n2 )。我们称这种方法为直接方法。图1 4 - 1 3中给出了分而治之求解算法的伪代码。该算法对于小的问题采用直接方法求解,而对于大的问题则首先把它划分为两个较小的问题,其中一个问题(称为A)的大小为「n /2ù,另一个问题(称为B)的大小为「n /2ù。初始时,最近的点对可能属于如下三种情形之一: 1) 两点都在A中(即最近的点对落在A中);2) 两点都在B中;3) 一点在A,一点在B。假定根据这三种情况来确定最近点对,则最近点对是所有三种情况中距离最小的一对点。在第一种情况下可对A进行递归求解,而在第二种情况下可对B进行递归求解。


if (n较小) {用直接法寻找最近点对

R e t u r n ; }

// n较大

将点集分成大致相等的两个部分A和B

确定A和B中的最近点对

确定一点在A中、另一点在B中的最近点对

从上面得到的三对点中,找出距离最小的一对点

图14-13 寻找最近的点对


为了确定第三种情况下的最近点对,需要采用一种不同的方法。这种方法取决于点集是如何被划分成A、B的。一个合理的划分方法是从xi(中间值)处划一条垂线,线左边的点属于A,线右边的点属于B。位于垂线上的点可在A和B之间分配,以便满足A、B的大小。

例2-8 考察图14-14a 中从a到n的1 4个点。这些点标绘在图14-14b 中。中点xi = 1,垂线x = 1如图14-14b 中的虚线所示。虚线左边的点(如b, c, h, n, i)属于A,右边的点(如a, e, f, j, k, l) 属于B。d, g, m 落在垂线上,可将其中两个加入A, 另一个加入B,以便A、B中包含相同的点数。假设d ,m加入A,g加入B。

设是i 的最近点对和B的最近点对中距离较小的一对点。若第三种情况下的最近点对比小。则每一个点距垂线的距离必小于,这样,就可以淘汰那些距垂线距离≥ 的点。图1 4 - 1 5中的虚线是分割线。阴影部分以分割线为中线,宽为2 。边界线及其以外的点均被淘汰掉,只有阴影中的点被保留下来,以便确定是否存在第三类点对(对应于第三种情况)其距离小于。用RA、RB 分别表示A和B中剩下的点。假如存在点对(p,q),p?A, q?B且p, q 的距离小于,则p?RA,q?RB。可以通过每次检查RA 中一个点来寻找这样的点对。假设考察RA 中的p 点,p的y 坐标为p.y,那么只需检查RB 中满足p.y- <q.y<p.y+ 的q 点,看是否存在与p 间距小于的点。在图14-16a 中给出了包含这种q 点的RB 的范围。因此,只需将RB 中位于×2 阴影内的点逐个与p 配对,以判定p 是否是距离小于的第三类点。这个×2 区域被称为是p 的比较区(comparing region)。

例2-9 考察例2 - 8中的1 4个点。A中的最近点对为(b,h),其距离约为0 . 3 1 6。B中最近点对为(f, j),其距离为0 . 3,因此= 0 . 3。当考察是否存在第三类点时,除d, g, i, l, m 以外的点均被淘汰,因为它们距分割线x= 1的距离≥ 。RA ={d, i, m},RB= {g, l},由于d 和m 的比较区中没有点,只需考察i即可。i 的比较区中仅含点l。计算i 和l的距离,发现它小于,因此(i, l) 是最近的点对。

为了确定一个距离更小的第三类点,RA 中的每个点最多只需和RB 中的6个点比较,如图1 4 - 1 6所示。

1. 选择数据结构

为了实现图1 4 - 1 3的分而治之算法,需要确定什么是“小问题”以及如何表示点。由于集合中少于两点时不存在最近点对,因此必须保证分解过程不会产生少于两点的点集。假如将少于四点的点集做为“小问题”,就可以避免产生少于两点的点集。

每个点可有三个参数:标号, x 坐标,y 坐标。假设标号为整数,每个点可用P o i n t l类(见程序1 4 - 8)来表示。为了便于按x 坐标对各个点排序,可重载操作符<=。归并排序程序如1 4 -3所示。

程序14-8 点类

class Point1 {

friend float dist(const Point1&, const Point1&);

friend void close(Point1 *, Point2 *, Point2 *, int, int, Point1&, Point1&, float&);

friend bool closest(Point1 *, int, Point1&, Point1&,float&);

friend void main();

p u b l i c :

int operator<=(Point1 a) const

{return (x <= a.x);}

p r i v a t e :

int ID; // 点的编号

float x, y; // 点坐标

} ;

class Point2 {

friend float dist(const Point2&, const Point2&);

friend void close(Point1 *, Point2 *, Point2 *, int, int, Point1&, Point1&, float&);

friend bool closest(Point1 *, int, Point1&, Point1&, float&);

friend void main();

p u b l i c :

int operator<=(Point2 a) const

{return (y <= a.y);}

p r i v a t e :

int p; // 数组X中相同点的索引

float x, y; // 点坐标

} ;

所输入的n 个点可以用数组X来表示。假设X中的点已按照x 坐标排序,在分割过程中假如当前考察的点是X [l :r],那么首先计算m= (l+r) / 2,X[ l:m]中的点属于A,剩下的点属于B。计算出A和B中的最近点对之后,还需要计算RA 和RB,然后确定是否存在更近的点对,其中一点属于RA,另一点属于RB。假如点已按y 坐标排序,那么可以用一种很简单的方式来测试图1 4 - 1 6。按y 坐标排序的点保存在另一个使用类P o i n t 2 (见程序14-8) 的数组中。注重到在P o i n t 2类中,为了便于y 坐标排序,已重载了操作符<=。成员p 用于指向X中的对应点。

确定了必要的数据结构之后,再来看看所要产生的代码。首先定义一个模板函数d i s t (见程序1 4 - 9 )来计算点a, b 之间的距离。T可能是P o i n t 1或P o i n t 2,因此d i s t必须是P o i n t 1和P o i n t 2类的友元。

程序14-9 计算两点距离

template

inline float dist(const T& u, const T& v)

{ / /计算点u 和v之间的距离

float dx = u.x-v. x ;

float dy = u.y-v. y ;

return sqrt(dx * dx + dy * dy);

}

假如点的数目少于两个,则函数c l o s e s t (见程序1 4 - 1 0 )返回f a l s e,假如成功时函数返回t r u e。当函数成功时,在参数a 和b 中返回距离最近的两个点,在参数d 中返回距离。代码首先验证至少存在两点,然后使用M e rg e S o r t函数(见程序14-3) 按x 坐标对X中的点排序。接下来把这些点复制到数组Y中并按y 坐标进行排序。排序完成时,对任一个i,有Y [i ] . y≤Y [i+ 1 ] . y,并且Y [i ] .p给出了点i 在X中的位置。上述预备工作做完以后,调用函数close (见程序1 4 - 11 ),该函数实际求解最近点对。

程序14-10 预处理及调用c l o s e

bool closest(Point1 X[], int n, Point1& a, Point1& b, float& d)

{// 在n >= 2 个点中寻找最近点对

// 假如少于2个点,则返回f a l s e

// 否则,在a 和b中返回距离最近的两个点

if (n < 2) return false;

// 按x坐标排序

M e r g e S o r t ( X , n ) ;

// 创建一个按y坐标排序的点数组

Point2 *Y = new Point2 [n];

for (int i = 0; i < n; i++) {

// 将点i 从X 复制到Y

Y[i].p = i;

Y[i].x = X[i].x;

Y[i].y = X[i].y;

}

M e r g e S o r t ( Y,n); // 按y坐标排序

// 创建临时数组

Point2 *Z = new Point2 [n];

// 寻找最近点对

c l o s e ( X , Y, Z , 0 , n - 1 , a , b , d ) ;

// 删除数组并返回

delete [] Y;

delete [] Z;

return true;

}

程序1 4 - 11 计算最近点对

void close(Point1 X[], Point2 Y[], Point2 Z[], int l, int r, Point1& a, Point1& b, float& d)

{//X[l:r] 按x坐标排序

//Y[l:r] 按y坐标排序

if (r-l == 1) {// 两个点

a = X[l];

b = X[r];

d = dist(X[l], X[r]);

r e t u r n ; }

if (r-l == 2) {// 三个点

// 计算所有点对之间的距离

float d1 = dist(X[l], X[l+1]);

float d2 = dist(X[l+1], X[r]);

float d3 = dist(X[l], X[r]);

// 寻找最近点对

if (d1 <= d2 && d1 <= d3) {

a = X[l];

b = X[l+1];

d = d1;

r e t u r n ; }

if (d2 <= d3) {a = X[l+1];

b = X[r];

d = d2;}

else {a = X[l];

b = X[r];

d = d3;}

r e t u r n ; }

/ /多于三个点,划分为两部分

int m = (l+r)/2; // X[l:m] 在A中,余下的在B中

// 在Z[l:m] 和Z [ m + 1 : r ]中创建按y排序的表

int f = l, // Z[l:m]的游标

g = m+1; // Z[m+1:r]的游标

for (int i = l; i <= r; i++)

if (Y[i].p > m) Z[g++] = Y[i];

else Z[f++] = Y[i];

// 对以上两个部分进行求解

c l o s e ( X , Z , Y, l , m , a , b , d ) ;

float dr;

Point1 ar, br;

c l o s e ( X , Z , Y, m + 1 , r, a r, b r, d r ) ;

// (a,b) 是两者中较近的点对

if (dr < d) {a = ar;

b = br;

d = dr;}

M e r g e ( Z , Y,l,m,r);// 重构Y

/ /距离小于d的点放入Z

int k = l; // Z的游标

for (i = l; i <= r; i++)

if (fabs(Y[m].x - Y[i].x) < d) Z[k++] = Y[i];

// 通过检查Z [ l : k - 1 ]中的所有点对,寻找较近的点对

for (i = l; i < k; i++){

for (int j = i+1; j < k && Z[j].y - Z[i].y < d;

j + + ) {

float dp = dist(Z[i], Z[j]);

if (dp < d) {// 较近的点对

d = dp;

a = X[Z[i].p];

b = X[Z[j].p];}

}

}

}

函数c l o s e(见程序1 4 - 11)用来确定X[1:r] 中的最近点对。假定这些点按x 坐标排序。在Y [ 1 : r ]中对这些点按y 坐标排序。Z[ 1 : r ]用来存放中间结果。找到最近点对以后,将在a, b中返回最近点对,在d 中返回距离,数组Y被恢复为输入状态。函数并未修改数组X。

首先考察“小问题”,即少于四个点的点集。因为分割过程不会产生少于两点的数组,因此只需要处理两点和三点的情形。对于这两种情形,可以尝试所有的可能性。当点数超过三个时,通过计算m = ( 1 + r ) / 2把点集分为两组A和B,X [ 1 : m ]属于A,X [ m + 1 : r ]属于B。通过从左至右扫描Y中的点以及确定哪些点属于A,哪些点属于B,可以创建分别与A组和B组对应的,按y 坐标排序的Z [ 1 : m ]和Z [ m + 1 : r ]。此时Y和Z的角色互相交换,依次执行两个递归调用来获取A和B中的最近点对。在两次递归调用返回后,必须保证Z不发生改变,但对Y则无此要求。不过,仅Y [ l : r ]可能会发生改变。通过合并操作(见程序1 4 - 5)可以以Z [ 1 : r ]重构Y [ 1 : r ]。

为实现图1 4 - 1 6的策略,首先扫描Y [ 1 : r ],并收集距分割线小于的点,将这些点存放在Z [ 1 : k - 1 ]中。可按如下两种方式来把RA中点p 与p 的比较区内的所有点进行配对:1) 与RB 中y 坐标≥p.y 的点配对;2) 与y 坐标≤p.y 的点配对。这可以通过将每个点Z [ i ](1≤i < k,不管该点是在RA

还是在RB中)与Z[j] 配对来实现,其中i<j 且Z [ j ] . y - Z [ i ] . y< 。对每一个Z [ i ],在2 × 区域内所检查的点如图1 4 - 1 7所示。由于在每个2 × 子区域内的点至少相距。因此每一个子区域中的点数不会超过四个,所以与Z [ i ]配对的点Z [ j ]最多有七个。

2. 复杂性分析

令t (n) 代表处理n 个点时,函数close 所需要的时间。当n<4时,t (n) 等于某个常数d。当n≥4时,需花费(n) 时间来完成以下工作:将点集划分为两个部分,两次递归调用后重构Y,淘汰距分割线很远的点,寻找更好的第三类点对。两次递归调用需分别耗时t (「n /2ù」和t (?n /2?).

这个递归式与归并排序的递归式完全一样,其结果为t (n) = (nl o gn)。另外,函数c l o s e s t还需耗时(nl o gn)来完成如下额外工作:对X进行排序,创建Y和Z,对Y进行排序。因此分而治之最近点对求解算法的时间复杂性为(nl o gn)。
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